المتتابعات والمتسلسلات
متتابعات حسابية وهندسية محددة بقيمة ابتدائية وفرق أو نسبة؛ حدود ومجاميع وعدد حدود ومجموع غير منته بشروطه.
للمدارس باللغة العربية: كيف تساعدك هذه الأداة؟
متتابعات حسابية وهندسية محددة بقيمة ابتدائية وفرق أو نسبة؛ حدود ومجاميع وعدد حدود ومجموع غير منته بشروطه. الأوضاع: حد ومجموع متتابعة حسابية — أعرف الحد الأول والفرق وعدد الحدود فأحسب الحد المطلوب والمجموع.؛ فرق حسابي من حدين وعدد الحدود — أعرف الأول والأخير وعدد الحدود (اثنان فأكثر)، فأجد الفرق والمجموع.؛ عدد حدود حسابية من أول وآخر وفرق — أتحقق أن الحد الأخير يقع فعلاً في المتتابعة بعد عدد صحيح موجب من الحدود.؛ حد ومجموع متتابعة هندسية — أعرف الأول والنسبة وعدد الحدود؛ تتعامل الأداة مع النسبة صفر أو واحد أو سالبة.؛ عدد حدود هندسية بنسبة موجبة — الأول والأخير غير صفريين ولهما الإشارة نفسها؛ النسبة موجبة وغير الواحد، وأبحث عن رقم حد صحيح.؛ مجموع هندسي غير منته والباقي — أستخدم شرط |النسبة| أقل من 1؛ أحسب المجموع وما يتبقى بعد عدد محدد من الحدود. المدخلات العددية الافتراضية من −1000000 إلى1000000 إلا إذا ذكر الحقل حدًا آخر. النتائج تقريبية في النماذج العددية.
ماذا يمكن أن تحسب بهذه الأداة؟
- حد ومجموع متتابعة حسابيةأعرف الحد الأول والفرق وعدد الحدود فأحسب الحد المطلوب والمجموع.
- فرق حسابي من حدين وعدد الحدودأعرف الأول والأخير وعدد الحدود (اثنان فأكثر)، فأجد الفرق والمجموع.
- عدد حدود حسابية من أول وآخر وفرقأتحقق أن الحد الأخير يقع فعلاً في المتتابعة بعد عدد صحيح موجب من الحدود.
- حد ومجموع متتابعة هندسيةأعرف الأول والنسبة وعدد الحدود؛ تتعامل الأداة مع النسبة صفر أو واحد أو سالبة.
- عدد حدود هندسية بنسبة موجبةالأول والأخير غير صفريين ولهما الإشارة نفسها؛ النسبة موجبة وغير الواحد، وأبحث عن رقم حد صحيح.
- مجموع هندسي غير منته والباقيأستخدم شرط |النسبة| < 1؛ أحسب المجموع وما يتبقى بعد عدد محدد من الحدود.
مثال محلول: حد ومجموع متتابعة حسابية
المعطيات
- الحد الأول: 3
- الفرق المشترك: 4
- رقم الحد الصحيح (1–1000000): 10
القاعدة
- في الحسابية نضيف الفرق نفسه كل مرة؛ الحد النوني هو الأول + (ن − 1) × الفرق، والمجموع ن × (الأول + الأخير) ÷ 2.\[\text{ح}_{\text{ن}}=\text{ح}_1+(\text{ن}-1)\text{د},\quad \text{م}_{\text{ن}}=\frac{\text{ن}(\text{ح}_1+\text{ح}_{\text{ن}})}{2}\]
خطوات الحل
- نعوّض في قانون الحد ثم قانون المجموع.\[\text{ح}_{10}=3+(10-1)(4)=39\]
- نحسب مجموع أزواج الأول والأخير.\[\text{م}_{10}=\frac{10(3+(39))}{2}=210\]
التحقق من النتيجة
- التحقق من الحد الأخير بإعادة التعويض = 39.
القاعدة التي نستخدمها — للمدارس باللغة العربية
الحسابية ذات فرق ثابت، والهندسية ذات نسبة ثابتة. المجموع الهندسي غير المنتهي هنا مشروط بالقيمة المطلقة للنسبة أصغر من واحد.
For English-language schools: how does this tool help?
Arithmetic and geometric models from a first term and difference or ratio: terms, sums, term counts and a convergent infinite sum. Goals: Arithmetic term and partial sum — Use the first term, common difference and term count to find the last term and partial sum.; Arithmetic difference from endpoints — Given the first/last terms and at least two terms, find the difference and sum.; Arithmetic term count from endpoints and difference — Verify that the target last term occurs at a positive integer index.; Geometric term and partial sum — Find the term and partial sum, including ratios zero, one and negative ratios.; Geometric term count with a positive ratio — First and last terms must be nonzero with the same sign; use a positive non-unit ratio to find an integer index.; Infinite geometric sum and remainder — Require |ratio| less than 1, then find the infinite sum and the signed remainder after a chosen number of terms. Default numeric inputs range from −1000000 to 1000000 unless a field states another limit. Numerical results are approximate.
What can you calculate with this tool?
- Arithmetic term and partial sumUse the first term, common difference and term count to find the last term and partial sum.
- Arithmetic difference from endpointsGiven the first/last terms and at least two terms, find the difference and sum.
- Arithmetic term count from endpoints and differenceVerify that the target last term occurs at a positive integer index.
- Geometric term and partial sumFind the term and partial sum, including ratios zero, one and negative ratios.
- Geometric term count with a positive ratioFirst and last terms must be nonzero with the same sign; use a positive non-unit ratio to find an integer index.
- Infinite geometric sum and remainderRequire |ratio| < 1, then find the infinite sum and the signed remainder after a chosen number of terms.
A worked example: Arithmetic term and partial sum
Given values
- First term: 3
- Common difference: 4
- Integer term index (1–1000000): 10
The rule
- An arithmetic sequence adds the same difference each time. The nth term is first + (n − 1) × difference; the sum is n × (first + last)/2.\[a_{n}=a_1+(n-1)d,\quad S_{n}=\frac{n(a_1+a_{n})}{2}\]
Worked solution
- Substitute into the term formula and then the sum formula.\[a_{10}=3+(10-1)(4)=39\]
- Use the first-and-last pairing sum.\[S_{10}=\frac{10(3+(39))}{2}=210\]
Check the result
- Rechecking the last term by substitution = 39.
The rule we use — English-language schools
Arithmetic sequences have a constant difference; geometric sequences have a constant ratio. This infinite geometric-sum model requires an absolute ratio below one.
هدفك من الأداة
جارٍ تجهيز حقول الأداة…
عدد مرات الاستخدام: 1
هل كانت الأداة مفيدة؟
استخدم الخطوات لفهم الطريقة ومراجعة محاولتك، ثم جرّب الحل بنفسك بمعطيات جديدة.