المتجهات والهندسة الفراغية
جمع وطرح وضرب قياسي ومتجهي وزاوية لمتجهين ثلاثيين، وتقاطع مستقيم مع مستوى ومسافة نقطة عنه.
للمدارس باللغة العربية: كيف تساعدك هذه الأداة؟
أدخل ثلاث مركبات لكل متجه بالترتيب س،ص،ع. يظهر الضرب المتجهي بالترتيب أ×ب، مع اختبار عموديته. لا تحسب زاوية للمتجه الصفري. للمستقيم والمستوى أدخل نقطة واتجاهًا غير صفري وعمودي مستوى غير صفري وثابت معادلته؛ تميز الأداة التقاطع والتوازي واحتواء المستقيم في المستوى. تكشف التوازي بالصفر العددي، وتعلن احتمال بعد التقاطع جدًا في الحالات شبه المتوازية.
ماذا يمكن أن تحسب بهذه الأداة؟
- عمليات متجهين والزاوية بينهمااحسب الجمع والطرح والطول والضربين، مع كشف المتجه الصفري قبل حساب الزاوية.
- مستقيم ومستوى ومسافة نقطةاكتب المستقيم بنقطة واتجاه، والمستوى بمتجه عمودي وثابت؛ حدد التقاطع أو التوازي.
مثال محلول: عمليات متجهين والزاوية بينهما
المعطيات
- المتجه أ: س، ص، ع: 1,2,3
- المتجه ب: س، ص، ع: 4,-1,2
القاعدة
- الجمع والطرح مركبة بمركبة؛ الضرب القياسي مجموع حاصل ضرب المركبات المتناظرة.\[\vec{\text{أ}}\cdot\vec{\text{ب}}=(1)(4)+(2)(-1)+(3)(2)=8\]
خطوات الحل
- طول المتجه هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته.\[|\vec{\text{أ}}|=\sqrt{(1)^2+(2)^2+(3)^2}=3.7416573868\]
- الضرب المتجهي مرتب؛ عكس ترتيب المتجهين يعكس إشارته.\[\vec{\text{أ}}\times\vec{\text{ب}}=(7, 10, -9)\]
- نقسم الضرب القياسي على حاصل ضرب الطولين، ثم نستخدم معكوس جيب التمام.\[\text{جتا}(\text{هـ})=\frac{8}{(3.7416573868)(4.582575695)}=0.4665694748\]
التحقق من النتيجة
- الضرب المتجهي عمودي على المتجهين؛ حاصل ضربه القياسي مع كل منهما: 0, 0.
القاعدة التي نستخدمها — للمدارس باللغة العربية
العمليات على المركبات المتناظرة؛ الضرب القياسي مجموع حواصل ضربها وطول المتجه جذر مجموع مربعات مركباته. جيب تمام الزاوية يساوي الضرب القياسي مقسومًا على حاصل ضرب الطولين. للتقاطع نعوض معادلة المستقيم في المستوى، والمسافة مقدار فرق معادلة المستوى مقسومًا على طول العمودي.
For English-language schools: how does this tool help?
Enter three coordinates per vector in x,y,z order. The cross product uses u×v order and is checked for perpendicularity; zero vectors have no angle. For a line and plane enter a line point, nonzero direction, nonzero plane normal and plane-equation constant. The tool distinguishes intersection, parallel disjoint lines and contained lines. Parallelism uses exact numeric zero; nearly parallel cases may intersect very far away.
What can you calculate with this tool?
- Two-vector operations and angleCompute sums, differences, magnitudes and products, checking for a zero vector before finding an angle.
- Line, plane and point distanceSpecify a line by a point and direction, and a plane by a normal and constant; find intersection or parallelism.
A worked example: Two-vector operations and angle
Given values
- Vector u: x, y, z: 1,2,3
- Vector v: x, y, z: 4,-1,2
The rule
- Add and subtract componentwise; the dot product sums products of corresponding components.\[\vec{u}\cdot\vec{v}=(1)(4)+(2)(-1)+(3)(2)=8\]
Worked solution
- A vector magnitude is the square root of the sum of squared components.\[|\vec{u}|=\sqrt{(1)^2+(2)^2+(3)^2}=3.7416573868\]
- The cross product is ordered; reversing vector order reverses its sign.\[\vec{u}\times\vec{v}=(7, 10, -9)\]
- Divide the dot product by the product of magnitudes, then apply inverse cosine.\[\cos(\theta)=\frac{8}{(3.7416573868)(4.582575695)}=0.4665694748\]
Check the result
- The cross product is perpendicular to both vectors; its dot products with them are: 0, 0.
The rule we use — English-language schools
Operate componentwise. Dot product sums component products; magnitude is the square root of the sum of squared components. The angle cosine is dot product divided by the product of magnitudes. Substitute a parametric line into the plane for intersection; point distance is the absolute plane residual divided by normal magnitude.
هدفك من الأداة
جارٍ تجهيز حقول الأداة…
عدد مرات الاستخدام: 0
هل كانت الأداة مفيدة؟
استخدم الخطوات لفهم الطريقة ومراجعة محاولتك، ثم جرّب الحل بنفسك بمعطيات جديدة.